<轉載>
丘成桐
美國哈佛大學教授
2005年11月15日
美國哈佛大學教授
2005年11月15日
| 我是學數學的，可是我跟物理學家有很多來往，受他們的影響很大，所以我今天講的是從數學的觀點來看時空。 幾何學家從古到今對時空有很大的興趣。從歷史來看，我們曉得從遠古時代人們就已經懂得丈量土地、觀察星體運行，也常感嘆時間就這樣慢慢不見了，所以產生時空的概念，所有民族都有類似的想法。 由中國哲學家我們 看到很多不同的看法。《易經》講:「太極生兩儀，兩儀生四象。」生四象就是生天地萬物的意思。《莊子》講：「天地雖大，其化均也。」；孔子講：「逝者如斯 乎，不舍畫夜。」都是感嘆著時間與空間的問題。屈原《天問》裡講：「日月安屬，列星安陳？」就是在問空間的問題，與太陽、月亮和星星之間的關係。另外，最 出名的是李白的文章：「夫天地者，萬物之逆旅，光陰者，百代之過客。」也表示著我們對空間和時間的思考。雖然中國哲學家不 停的探討時空，但總是是比不上希臘的哲學家，所以今天我們要從幾何學的觀點來看時空的歷史。希臘哲學家從很早就對時空很有興趣。例如柏拉圖，柏拉圖有個很 出名的想法，他認為要做他的學生，一定要懂得幾何才行 。所以古代希臘哲學家，把幾何看為大自然的一部份，而幾何則成為描述大自然的主要工具。 希臘哲學家認為空 間是靜止不動的、完全不動的，這種見解持續了二十多個世紀，大致上和他們在幾何認知上的局限性有關。但希臘哲學家崇尚推理，希望從數學的美中找到自然界的 真理，所以他們對時空的瞭解比任何古文化都來得先進。他們積極用正多面體（regular solid）種種不同的幾何形象，來解釋星體的運行，有著很大的興趣。 現在我們引一個偉大幾何學家的談話，他叫做Cartan（1869-1951），可以說是近代幾何學家中最偉大的一個，他說： 也就是說，作科學和作數學的發展一樣，要一層一層的抽象出來，而 正確的推理無疑非常要緊，但更關鍵的是找到骨節眼上的問題。必須具有正確的直覺，才能夠選對最根本的問題。解決這些問題，對科學的整體發展，具有舉足輕重的作用。我們數學家解決問題時要求謹慎，可是最重要的是找到問題、正確的問題，所以這部分跟物理有很密切的關係。而對時空這個問題，就要了解清楚幾何跟物理的發展有密切的關係，這點要看得很清楚。 現在我們來看看幾 何學。幾何學基本的問題來自大自然，並且由問題本身的和諧典麗所啟迪，這是幾何學基本的看法。而希臘幾何學家最先利用公理來處理數學，這是劃時代的貢獻。 希臘數學家以前有埃及和巴比倫的數學家，他們對數學和幾何也相當的成熟，曉得很多幾何裡面的定理，可是它們沒有發展到利用公理來處理。只有引入一系列公 理，我們才對大自然的規律有清晰的了解，進而發現其奧妙來讚歎他。 古代的幾何學最出 名的是歐幾里得（Euclid, -325--265）的幾何學，已經有兩千多年了。歐幾里得基本上是研究點、直線、平面這些比較簡單的圖形。這裡面有兩個主要的定理，一個是畢氏定理，這 大家在國中都學過，在一個直角三角形上，他的斜邊平方等於另兩邊的平方和：。第二個定理是任何一個三角形的內角和等於180度。這兩個定理是整個歐氏幾何 學裡面最重要的定理。 歐氏幾何對以後時空研究的影響，我們可以來慢慢看一下。首先畢氏定理是平面幾何學裡面最重要的定理，因為在任何有意義的幾何空間裡面，都要求這條定理在無限小的情形下要成立，也就是在黎曼幾何和近代幾何下都要成立，這是一個重要的定理。 至於三角形內角和 為180度，其實就是講平面是平坦的，也就是不彎曲。Legendre(1752-1833)這個十八、十九世紀的偉大數學家，他指出三角形內角和等於 180度，等價於下面這個很重要的命題，也就是歐氏第五公設。歐幾里得幾何學裡面用到好幾個公設，其中最重要但很多人不太認為它應該成立的就是第五公設， 也就是過一條線外的一點，只有唯一一條直線跟這條線平行，這個第五公設跟三角形內角和是180度是等價的。 這裡有個很奇妙的 現象，在歐洲一千多年、兩千多年來，數學家和科學家對這個第五公設的問題，始終不停的想去研究它、證明它，這種態度跟中國人完全不一樣，中國人不太想去證 明這個定理，認為這是很明顯的事實。可是西方人卻鍥而不捨，從歐幾理得一直到Lengendre都在考慮這個問題。 最後，偉大的數學家高斯（Gauss, 1777-1855）和俄羅斯兩個數學家不約而同地發明了雙曲幾何，雙曲幾何就是曲率為負常數的二維曲面，當時有人傳說，高斯曾經測量歐洲山脈裡的三個山頂形成的三角形，也就是地球上的三角形內角和是不是180度。 雙曲幾何提出以 後，一個最重要的結果是大數學家Felix Klein（1849-1925）所發明的空間，他創造了一種解析的方法，通過在單位圓盤上任意兩點的某種距離，給出雙曲幾何的一個模型，這個模型叫做 Klein模型。Klein以後，終於證明了歐氏第五公理不可以由其他公理推導出來，這是一個很偉大的成果。這個想法在邏輯上也有很大的貢獻，跟以後提出 連續統假說（Continuum Hypothesis）的反例有很大的關係。 對我們來講，雙曲 幾何是一個抽象而且跟歐氏空間不一樣的空間。人類第一次發現一個空間，不是我們看到的空間，而是一個抽象的空間，這影響到黎曼的工作。從其他很多科學看 來，感覺這像是一件胡鬧的事情，覺得看不到的空間為什麼還要去研究，可是數學家對它花了很多的時間，去研究它的意義，這我們等一下還會看到。 同時，我們看到的 是三角形的內角和減去180度的時候，在平面幾何時本來應該等於0的。可是在不是平面的時候，這個差會等於曲率和三角形面積的乘積，這是很奇妙、很有意思 的恆等式。高斯將它推廣成一條有關曲率的積分公式，叫做高斯-Bonnet定理，高斯-Bonnet定理在現代幾何和拓樸學中非常重要。我的老師陳省身先 生（1911-2004）將高斯-Bonnet定理推廣到高維空間，同時因此發展成陳氏類，這個發展在近代時空研究裡面是一個很重要的工作，提供了宏觀的 看法。舉例來講，在近代的弦理論裡面，可以看到時空裡的質子數目與陳氏類有關。 我們在討論近代的 時空一定要有微積分。因為古代的幾何的對象只是平面跟球面，那太侷限了，即使是我們看到的時空都已經不大夠。當我們了解到用無窮逼近的方法去構造一個彎曲 的幾何對象時，那就完全不同了。第一個使用逼近方法的數學家是阿基米德（Archimedes, -187--212），在公元前兩百多年他就用這種方法來計算?物線跟直線之間的區域面積，他的計算比現存已知的文章多得多，他基本上具有微分跟積分的觀 念，已經完成了微積分最主要的工作，只是當時的物理跟天文背景還沒有成熟，所以沒有迫切的需要將整個微積分全部完成。 接著要提一提 Apollonius(-262--190)。Apollonius是提出圓錐截面理論的偉大數學家。圓錐截面包括拋物線、雙曲線、橢圓、還有直線等幾何 曲線。當時天文學家利用這套理論來發展行星運動的本輪模型（epicycle model）。雖然本輪模型並不是很正確，但是圓錐曲線的理論卻對後世??????< ???酘Ω酘Ω蛔珠?珝刻卜勒（Kepler, 1571-1630）著名的行星運動定律具有深遠的影響。當時的天文學家利用幾何學跟三角學，將天文學從一大堆雜亂無章的數據，轉化成一門精確的觀測科 學，也就是說，公元前兩百多年的天文學家已經曉得數學的威力。 接著在時空觀念裡 的重要貢獻，來自伽利略(Galileo, 1564-1642)和刻卜勒，他們從行星運動的數據得出來很多重要的工作。刻卜勒利用天文學家Brahe (1546-1601)大量精確的觀測資料，並通過很多的數據分析，終於算出行星的軌道是橢圓。Brahe觀測本來是用地球為參考點的一大堆數字，所以不 是很容易看出來是怎麼回事。刻卜勒將它們改成以太陽為參考中心的運動軌跡，長年累月的用算術及三角將這些數據變成以太陽為參考中心的計算。 與刻卜勒差不多同 時的兩個偉大數學家是費馬(Fermat, 1601-1665)和笛卡兒(Descartes, 1596-1650)，他們引進了座標系統。笛卡兒是一個哲學家，是文藝復興時的一個著名哲學家，他在一篇哲學文章的附錄中提出了座標系統的概念。有了座 標系統，才能用代數的方法來表示運動的軌跡，這對牛頓以後作天文的計算有很大的幫助。底下是笛卡兒的一段話，他講「我鐵了心，要揚棄抽象的幾何學」，他對 抽象的幾何學，也就是歐氏幾何學，他不想再去研究，因為「它探討的問題，除了能夠鍛煉頭腦外，就沒有什麼用處。」笛卡兒要研究「那些以解釋大自然現象為目 標的幾何。」也就是他的座標系統。 座標幾何的引進， 對於幾何的研究是一個很重要的轉捩點。我們現在學解析幾何的時候覺得很容易，可是事實上整個觀念的改變是劃時代的貢獻。有了這個座標系統以後，直線是由線 性函數所定義，圓錐截面則由二次函數決定。利用這種代數的方式，刻卜勒的行星運動定律就變得很清楚了，不用花很多功夫去想像。有了座標以後，因為刻卜勒的 數據是數字，有了數字代進座標系統就可以了。 座標幾何將幾何和 代數結合起來，讓我們繞過歐氏公理來研究幾何圖形，這是很重要的事情，讓我們可以用坐標的想法來研究圓、研究直線的圖形。它另外一個很重要的影響，是領導 我們進入高維空間。假如沒有座標系統的想法，我們將很難想像高維空間是怎麼回事，有了座標系統，我們才曉得高維空間該怎麼去想像它。 微積分的引進，剛才講過是個很偉大的發明。發明的人有兩個，一個是萊布尼茲（Leibniz, 1646-1716），一個是牛頓（Newton, 1643-1727），是差不多同時間的人。萊布尼茲也是個哲學家，他對微積分的引進是很驕傲的，他說 “As God calculates, so the world is made.”（上帝算，天地生。）他認為數字也就是微積分，能夠決定天地、了解天地。 萊布尼茲的工作是 既用代數也用分析的方法來表示的。他利用圖像的辦法、優秀的符號，為微積分創造了一個完整的數學架構。他在1677發表了自己的結果，事實上比牛頓發明微 積分晚了十年。但是牛頓的工作，只在少數數學家跟科學家中流傳。因此兩派吵架吵了幾十年，只為了這個誰先發明微積分的事情。 牛頓的微積分比萊 布尼茲更重要的部分，也是最偉大的部分，就是他利用解析幾何和微積分，對天文天體的運動進行了很仔細的計算。利用微積分，他由$\frac{1} {r^2}$的定律推導到行星的運行。這一點可以展現微積分偉大的生命，因為從很基本的定律能夠計算出星體很複雜的運行規律。天體的運行是透過歐氏空間的 整體座標系統來描述的，在那裏空間是靜止的，而時間則獨立於空間以外。 接著我們要討論牛 頓力學內容的意義。物理的真實性屬於我們經驗的範疇。我們看物理是因為我們感覺到它。而科學的目標是尋找這種真實的物理背後的規律跟合理性。牛頓將大量的 物理現象用同一個理論框架統一起來。產生了牛頓的三大定律。牛頓的三大定律是有關??????< ???酘Ω酘Ω蛔珠?珝運動的，像$F=ma$全部是關於運動的。可是運動在什麼地方進行？那進行的地方便叫作空間。牛頓說：「我不想去定義時間、空間、 地點跟運動，因為大家都跟它們熟識不過。」事實上，牛頓最迷惑的也就是空間。 牛頓引進的一個很重要的觀念叫作絕對空間。牛頓宣稱他的時空是絕對的、靜止的，它為整個宇宙提供一個剛性的、永恆不變的舞臺。 "Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” （對內對外而言，絕對空間都是相似及不動的。）他認為有一個抽象的絕對空間，所有的運動都在這個絕對空間裡去比較。他甚至利用一個旋轉水桶的實驗，來說明絕對空間的存在性，而慣性座標便是在絕對空間裡面靜止的座標。這是一個很偉大的觀念，雖然現在來看是一個不正確的觀念。 萊布尼茲是一個哲 學家，他對牛頓絕對空間的觀念提出異議，他不贊成。可是牛頓力學跟微積分實在是偉大的科學，因為這是一個新工具，它使得物理學家和數學家花很多功夫，利用 這個新工具去發展新的學問，沒有時間去重新討論絕對空間的問題，直到十九世紀，對時空的看法才有新的基本改變。在這段時間裡面對幾何學有重大貢獻的是數學 家Euler（1707-1783），他是絕對空間概念的忠實信徒。在流體力學裡面有兩個不同的觀點，一個是Lagrange觀點，另一個 Euler觀點，這也是因為Euler相信絕對空間的緣故。 接下來，現代幾何 學或者現代時空觀念的最大轉捩點是從高斯開始，這是因為高斯發覺到一個很重要的事實。古典的幾何學者在討論我們三維空間裡面的曲面時，他們曉得曲面上每一 點沿著兩個不同的主要方向有兩個不同的曲率。舉例來講，在一個圓柱上面，一個方向是沿圓來找的，一個方向是直線。圓方向的曲率就是$1/r$，直線方向則 是0，它並沒有曲率。高斯發覺這兩個曲率乘起來的乘積有很重要的性質。就是將曲面在空間中變形時，只要沒有拉長它或縮短它，這個乘積是不變的！這個乘積後 來就叫作高斯曲率（Gaussian Curvature），是高斯一個很偉大的發明。 高斯認為這是他的 數學生涯裡面最重要的定理，寫進他的書《曲面通論》裡。他指出曲面所謂的內在性質。什麼叫作曲面的內在性質？就是講，假如我們在曲面上將自己看作很扁的小 甲蟲，當這個小甲蟲在曲面上爬來爬去的時候，他體驗到的空間，得出來的空間性質就叫作內在性質。為什麼叫內在呢？因為這個小甲蟲對曲面跟空間的關係並不在 乎，也就是講小甲蟲只顧他旁邊遇到的曲面上的幾何，跟外面的空間無關。高斯認為這個內在性質才值得幾何學家不停去研究，去上下求索（"most worthy of being diligently explored by geometers"）。這種幾何就叫做intrinsic geometry，內蘊幾何。 高斯把這件事看得 很重要。我們現在解釋一下內蘊幾何的意思。假如我們在一個蘋果削切了片皮，拿出來以後它的高斯曲率基本上是個正的常數；反過來講，如果一個曲面的高斯曲率 是正的常數，那它一定是球的一部分。基本上來講，就是一個球面的內蘊幾何是由高斯曲率來決定的。當高斯曲率都等於－1時，就是雙曲幾何，也就是剛才討論歐 氏第五公設的那種幾何，也就是剛剛講的高斯、Klein他們討論的抽象幾何。 高斯因為他的定理很興奮。他花很多時間去提出跟討論這個定理為什麼這麼重要，可是他遇到困擾。高斯說： 我愈來愈相信，人類的理性並不能證明或理解幾何的必要性。希望後世能對幾何空間的本質有新的洞見，但目??????< ???酘Ω酘Ω蛔珠?珝前這卻是不可能的事。他還有一句話很有意思： 當下我們不能把幾何與本質是先驗的算術（也就是數論）相提並論，只適宜將它與力學並列。高斯本身是一個偉大的數論學家，可是他認為這兩種數學是不一樣的，他認為幾何應該跟力學，也就是物理，相提並論。我要強調，高斯並不是認為數論不重要，而是他認為這是兩個完全不同的科學。 高斯很想研究高維 空間的內蘊幾何，可是他作不到。在黎曼（Riemann, 1826-1866）很年輕的時候要升教授，在德國當時要當教授以前要有一個就職的演說，他為這次演說提出三個不同的題目，結果高斯挑了第三個題目。黎曼 沒有料到高斯挑這個題目，題目就叫做《建構幾何學的假設》，這是一個很有意思的問題，結果黎曼花了兩個多禮拜去準備這一篇文章，他沒想到高斯對這個問題有 這麼大的興趣，原來這是因為高斯自己正在研究這個東西，在尋找答案。 黎曼認為這個新的幾何要 用無限小的形式，引進了抽象空間。在那裏高斯曲率有了很明顯的涵義。當黎曼引入這個空間的時候，高斯聽了很高興，因為這是一個很有意思的文章、宣言。也因 為自從有了黎曼空間之後，使我們終於擺脫了、完完全全擺脫了平坦的歐氏空間，成功的創造出自我生存的抽象的大域空間。 我們來看看黎曼在1852年演說提到的幾句話，這幾句話我原來不曉得，是最近這幾個禮拜才看到他的演說的全部內容。他講： 在無窮小區域內幾何諸假設是否真確，與空間尺度關係的本質有關……。他作了好幾個解釋，對我們現在來講是很明顯的，可是他當時的考慮，是要從空間來考慮。 我很驚訝看到這一 段，因為我一開始以為黎曼引進黎曼幾何和物理完全無關，事實上他是為了研究物理才來考慮這個問題的。當時困擾黎曼和高斯的，除了空間的問題以外，他們兩個 也都對電磁學和引力場有很大的興趣，他們寫了兩篇文章完全是對電磁學的研究，他們是在同一段時間考慮同樣的問題。 黎曼的新發現從根 本上改變了數學家對幾何的看法。這種抽象的幾何後來由Christoffel(1829-1900)、Ricci(1853-1925)、 Levi-Civita(1873-1941)和Beltrami(1835-1900)研究了流形上的微積分和張量分析。不過對大部分人來講，他們都不 大喜歡這個幾何。 現在我們來看現代 20世紀物理和幾何的關係，等下黎曼幾何會再進來。第一點先談狹義相對論的背景。第一個對牛頓絕對空間提出具建設性質疑的是一個哲學家 Mach(1838-1916)。他認為慣性座標受到地球和其他天體的影響，這項假設被稱為Mach原理。差不多同時，一個極重要的事實是 Maxwell(1831-1879)發現光是電磁波，光的速度與慣性坐標無關，是一個常數，不管慣性坐標怎麼取，得出來的都是一個常數。不久之後，又發 現Maxwell電磁方程以Lorenz變換作為對稱群。這是一個很偉大的發現，愛因斯坦(Einstein, 1879-1955)在他十六歲的時候對這件事情感到興奮，很想討論為什麼會有這種事情。 終於在1905年愛因斯坦25歲的時候，他提出了狹義相對論。其中一個重要的環節是，空間和時間終於融合在一起。在1908年，Minkowski(1864-1909)這個偉大的數學家，也是對狹義相對論有很大貢獻的一個物理學家，他說： Henceforward, space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independence.也就是說，空間跟時間再也不能夠獨立，所以時間和空間從此以後要融合在一起。 狹義相對論很快受 到物理學家的認同，但其中有一個很重要的問題，就是引力場。由牛頓力學來看的引力場和狹義相對論是矛盾的，因為狹義相對論認為，任何訊息的傳遞不能超過光 速；可是牛頓力學裡面是Action at a distance 它傳遞的速度是一瞬間、是無窮快的，這與狹義相對論提到的矛盾。牛頓的Action at a distance是因為它與時間無關。所以愛因斯坦要擺平這個問題，他想了很久，這問題他想了十年。他寫信給Sommerfeld(1868-1951) 說: I am now working exclusively on the gravity problem… one thing is certain – that never in my life have I tormented myself anything like this.。他花了很多工夫去考慮這個問題。 當時愛因斯坦了解引力是 力場的一種，它使物體加速，由於狹義相對論的要求，在速度平行的方向，速度加快很快很快的話，會使長度加長，因為我們手上的尺會變短，所以量出來的長度較 長，在與速度垂直的方向，長度不變，沒有影響。所以發現很重要的一點：長度會在不同的方向和點改變，就是我們用狹義相對論來量一個加速的物體時，長度會對 應改變，這正是黎曼幾何的特點；黎曼幾何容許長度在不同方向改變。 在同一個時間，愛 因斯坦提出了他出名的等價原理，就是講在任何座標裡面，物理的引力場的理論是要成立的，他花了很多時間來加進等價原理才了解到它跟黎曼幾何的關係。他的朋 友Grossmann(1878-1936)指出黎曼幾何的重要性，他才明白黎曼度量滿足等價原理，同時黎曼曲率使得度量拉長或縮短，這正是他所需要的一 個工具。這個黎曼曲率正的時候會使得度量收縮，負的時候使得長度會拉長。 黎曼曲率真正具有 他需要的特色，就是引力場的特色。黎曼曲率張量的某種組合稱為Ricci張量。他發現這個量正是他需要的量，因為他需要滿足質量守恒定律，而這個質量守恆 定律對Ricci張量是滿足的，這是由Bianchi(1856-1928)發現的。愛因斯坦看到這個定律很高興，因此將Ricci張量看作物質的分布， 而黎曼曲率本身去描寫引力場。所以最後我們看到引力場可以用黎曼度量來表示。 在1916 年，愛因斯坦正式宣布廣義相對論的理論，同時他提出兩個計算，就是關於水星近日點的進動問題與光線偏移的計算。1919年英國一個天文學家 Eddington(1882-1944)在英國皇家學會宣稱愛因斯坦提出的光線偏移理論被證實，這是他當時在南非藉著日蝕度量成功的。當時的 London Times（倫敦時報）頭條新聞說： Revolutions in Science - New theory of the universe - newtonian ideas overthrown. 這成為當時轟動全世界的事情，而愛因斯坦的廣義相對論也被評為人類有史以來最偉大的發現。 在整個架構來講，我們曉 得黎曼幾何是廣義相對論裡面的框架，能夠用時空來跟黎曼幾何連在一起，就等於將幾何與引力渾為一體，不能夠再分開。而因為引力場驅動整個宇宙的改變，時間 再也不是一潭靜寂的死水。當天體變動的時候，時空的幾何與拓樸以光的速度在變化，這也是廣義相對論裡重要的部份，也就解決了剛才牛頓力學跟狹義相對論的矛 盾。 當時愛因斯坦除了 受到Mach的影響以外，他還是第一個受到對稱觀念影響的人。Maxwell方程有Lorenz變換的對稱群，他給愛因斯坦創造狹義相對論的靈感。他也用 等價原理來看廣義相對論，所以愛因斯坦是第一個看到對稱群在物理學中最重要的物理學家。這影響了整個二十世紀的物理學，因為各種守恆定律都是由對稱群來決 定的。等價原理產生了大的對稱群，導致愛因斯坦提出了廣義相對論。 事實上數學家比愛 因斯坦還要早，就提出了同樣的理論。偉大的數學家Sophus Lie（1842-1899）跟Felix Klein，他們曉得對稱性對幾何基本結構的重要性。在1887年，Klein在德國一個很出名的地方叫Erlanger，他提出了他的教授就職論文，裡 面提到：不同的對稱群會引出不同的幾何。這點很有意思，德國的教授在就職前要提出新的綱領，我想在這個年代是做不到的。 沒多 久，Cartan就把Klein的觀點和黎曼幾何結合，創造了纖維叢的連絡理論，關係到後來物理的gauge理論（規範場論）。這是Cartan在 1895年的論文寫的，這篇論文比物理學家早了至少五十年，他把Klein的整體對稱群與黎曼幾何連在一起，不但過了五十年對物理很重要，對整個幾何也有 很重要的開展。我們對時空的結構通過gauge理論，也就是從Cartan引進的gauge理論局部對稱性，得到很長遠的瞭解。 量子力學是對基本 粒子很重要的瞭解，這些是自然界力量內的基本建構單位。要研究這些，要利用到electronic spinors（旋子）跟規範場論。這個概念其實從Cartan的群表示理論在幾何裡面就已經開展出來。但是有了Dirac（1902-1984）、有了 Hermann Weyl（1885-1955）、有了楊-Mills之後，我們對整個幾何的結構才得到了更豐富的直覺，這種直覺對幾何起了很重要的貢獻。Herman Weyl在1920幾年的時候就研究可交換對稱群的規範場，楊振寧跟Mills在1954年則引進非交換對稱群的規範場。 整個量子力學對我 們的影響很大，影響我們對時空幾何的認識也很深遠。例如Dirac的spinor跟Seiberg-Witten的理論，都是量子物理的部份。他成為我們 研究幾何結構的重要工具，到現在我還驚異於他們對幾何結構的威力。所以我們曉得，量子力學雖然是研究很微觀的工具，但是對大範圍的幾何有很重要的威力。至 少五十年來，自從愛因斯坦對統一場論有興趣以後，我們就了解到廣義相對論與量子力學之間，最主要問題是它們互相矛盾。量子力學與光滑的時空不能相容：當空 間的尺度小於Plank scale的時候，我們對時空的結構不甚了了。將引力場量子化是很艱鉅的任務，這五、六十年來物理學家建立了很多模型，愛因斯坦生前的夢想就是要將他們統 一起來。我們只能講，我們正向這個方向前進。 目前最成功的統一 場論，引力場論與量子合起來的主要理論，就是弦理論。這個發現當時對物理學家是一個意外，六０年代義大利的物理學家Veneziano，發現某個 Euler的函數跟強核力產生的一些現象，從表面上看有很密切的關係。不久以後，有三個物理學家發覺，假如我們假定基本粒子是一個弦，也就是一維而非一點 的時候，我們從強粒子理論可以找到Euler函數。所以當時很興奮，以為弦理論可以用來解釋強核力，可是以後強作用力的實驗發現，不循這個方向發展，而且 標準模型（standard model）已經足以描述強作用力。所以弦理論不再重要，幾乎銷聲滅跡。 可是再過了幾年以 後，兩個物理學家Scherk跟Schwarz認為弦學應該包括強粒子和引力子。第一次在弦理論中提出引力場的是這兩位物理學家，但是真正引起理論物理學 家注意的，??????< ???酘Ω酘Ω蛔珠?珝是Green和Schwarz在1984年的一個大發現。他們發覺當弦跟引力場相互作用時，在包括超對稱的量子化過程內，時空的維 數必定要是十維。同時在這個時候，由弦理論引起的量子場論，說明其至少在漸進的情形下是收斂的。這點是一個劃時代的貢獻，因為收斂是一個很困難的問題，所 有想將引力量子化的嘗試都在不收斂的情形下失敗了。可是他們發覺這是收斂的。因此產生了很多物理學家對弦理論的欣賞與研究。 一個很重要的結果是，時空本身的某些奇異點，是可以用弦理論來解釋的。舉例來講，黑洞是一種奇異點。我幾個朋友Greene、Strominger、Morrison，他們找到其中黑洞的模型，發覺就算出現奇異點的時候，弦理論還是有意義的。 我們曉得，現實世界我們看到的時空應該是四維的。所以弦理論需要十維，好像是不大對的事情。我們需要有一個方法將十維的時空變成四維，這個方法是由數學家跟物理學家提出來的，一個叫Kaluza；第二個叫Klein，這是在廣義相對論剛剛面世的時候提出來的方法。 因為當時愛因斯坦 想將電磁場與引力場合併。他們兩位科學家將四維時空加了一維，變成五維。將一條直線加厚成一個圓柱，當柱的橫切面很小時，柱面就變回一條直線了。所以 Kaluza、Klein討論五維空間真空狀態的愛因斯坦方程，他們發覺這個方程等價於某個四維時空的引力場與Maxwell方程的合併。這樣子引力場與 電磁場就由純引力場統一起來了。愛因斯坦對這個事情很興奮，他以後在考慮這個問題時，又多了一個數量場。但是這個多了的數量場，實驗上無法找到，所以最後 還是放棄了。可是這個多出來的數量場，在弦理論裡面有解釋。 在弦理論裡面，時 空是十維的。我們用同樣的方法，將四維加入六維，加入的六維空間變得很小，簡直可以將十維空間變為四維空間，這部分是用Kaluza和 Klein的想法來作的。可是這個六維空間是什麼東西呢？弦理論因為當能量很高的時候，玻色子與費米子是一一對應的，也就是所謂的超對稱。時空裡面希望能 夠具有超對稱，假如有超對稱的話，那內在的六維空間就要滿足一些條件。 這是由四個物理學 家，也是我的朋友所發現的。他們發現空間一定有複結構的真空方程，1984年的時候他們發覺，這個空間是我在1976年構造的流形，後來他們叫這個空間 Calabi-丘空間。這個空間我們剛開始創造的時候，是為了做代數幾何等其他方面的工作提出來的，也是為了微分幾何。做這個空間的時候，我個人覺得它跟 廣義相對論有關，可是沒想到滿足了弦理論的要求。也因為弦學家對這個空間的要求，這二十多年來，我們在這個空間裡有很多很有意思的成果，尤其是在數學上的 成果。我們曾經研究過這個空間的許多模型，在弦理論來講，這是一個基本的模型，可以用來計算粒子的重量、電荷，也可以藉這個空間的變化來考慮黑洞與宇宙的 模型。 可是時空遠比這個 更複雜，從微觀的觀點這還不是最終極的形式，很多弦學家認為這是一個逼近的微觀空間，在此空間上還有許多美妙的對偶性，對計算量子場論幫助很大，也因此為 對偶性，微觀的量子場和大空間的量子場是同構的，這個對稱基本上和Heisenberg的不確定性原理是等價的。所以量子力學加上時空，我們不知道最後的 時空會是什麼樣子，但是這已經在數學的代數幾何上引入革命性的貢獻，這一點我沒辦法多談。 1984年到 1995年之間，弦學家發現很多不同的弦學模型，例如Witten的M理論、Polchinski的膜理論，其中幾何與時空不斷的聯繫在一起，最近幾年還 有所謂的矩陣模式、Vafa的量子時空泡沫，現在相當多人認為時空概念將有革命性的變化，至於怎麼變化，誰也不曉得。 物理和幾何的關係，讓我引Schwarz的一段話： the mathematical structure of string theory was so beautiful and had so many miraculous properties that it had to be pointing toward something deep.所有的幾何學家和弦學家都是這樣相信的。 由於時間的關係，我今天只介紹的這邊，最後我引兩段話 天地與我並生，萬物與我為一。（莊子）我們在每一次進步的時刻都花了很多功夫，但生出理論之後，就有其重要性。 |
2009-04-22 AM 9:09
