Transformations and Vectors

考慮一支在 Cartesian frame 上的 vector ${\displaystyle x=(2,1,3)}$ 或
${\displaystyle x=2e_1+e_2+3e_3}$
假設現有一新坐標系 ${\displaystyle e{\text{'}}_i,}$ i=1,2,3，我們有


${\displaystyle e_1=e{\text{'}}_1+2e{\text{'}}_2+3e{\text{'}}_3,}$
${\displaystyle e_2=4e{\text{'}}_1+5e{\text{'}}_2+6e{\text{'}}_3,}$
${\displaystyle e_3=7e{\text{'}}_1+8e{\text{'}}_2+9e{\text{'}}_3}$

${\displaystyle \Rightarrow x=27e{\text{'}}_1+33e{\text{'}}_2+39e{\text{'}}_3}$

即是說我們有 matrix

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)}$

便能由一個坐標系轉到另一坐標系。
一般來說，假設

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^3{x}^i{e}_i}$

又存在一個轉換 matrix

${\displaystyle e_i=\sum _{j=1}^3{A}_i^{j}e{\text{'}}_j}$

我們有:
${\displaystyle x=\sum _{i=1}^3{x}^i\sum _{j=1}^3{A}_i^{j}e{\text{'}}_j=\sum _{i=1}^{3}e{\text{'}}_j\sum _{j=1}^3{A}_i^j{x}^i}$