彩票聰明組合

早排歷史性的香港六合彩彩池高達一億，搞到四處見到人龍排隊買六合彩。大家用各式各樣的方法買時，有術數、捉版路、發夢、大包圍，總之千奇百怪。當中較為科學亦合理的方法便是聰明組合。聰明組合不是幫你選號碼，而是把你心中的一堆號碼，以較科學的方法放在其中一注。好多時我們選號碼能選對，但就偏偏散到不同注數，所以聰明組合就是以較少的成本，亦能保證你的中獎機會。

聰明組合的問題可以這樣理解:
假設:
n = 對某一系統的所有號碼 (例如:香港六合彩 49)
k = 每張票要填的號碼數目 (例如:香港六合彩 6)

p = 假設你選的一堆球數量而又真的開了 (例如: 6)
t = 最低中獎保證 (例如: 3)



例如: L(n,k,p,t) = L(49,6,3,5) 解讀為 由 49個球 選 6 個字而 假設你能估中 5 球保證最少中 3 的注數。為簡化我們會寫 3if5 (估中 5 球保證最少中 3 球)。這是最低保證，你亦有機會中 4,5 甚至 6 個字。

如果不用聰明組合,要在 49個球選6個的組合 (L49,6,6,6)是 49C6=13,983,816!
如果要選中1個字，我們有:
L(49,6,6,1)=Ceiling(49-6+1/6)
所以一般來說:
L(n,k,p,t)=Ceiling(n-p+1/k)

以香港六合彩為例，最少要中 3 個字而你又諗都唔諗的話你要:

87 <= L(49,6,6,3)<=163.
即是說，你買晒 163 注，必會中 1 注 最少 3 個字。 當然成本要 163*$10 = $1630.

Ticket 1 : 1 6 7 17 23 46
Ticket 2 : 1 6 9 25 32 45
Ticket 3 : 1 6 11 13 22 38
Ticket 4 : 1 6 20 27 34 47
Ticket 5 : 1 6 33 36 40 49
Ticket 6 : 1 7 9 22 34 49
...
Ticket 162 : 22 23 33 38 46 49
Ticket 163 : 25 32 33 34 47 49

 但這 163 注不算分怖平衝，用 minimal overlapping algorithm 得出的結果更好。我在 第66期 (4/6/2011) 就查過，新的排列中最少 3注以上。


Gail Howard 本 Lottery Master Guide 有寫每種選擇所要的注數。但她的記錄已過時。例如:

4 if 6    Howard 要 124 注 但最新紀錄只要  80 就已能保證中 4 個字 (假設你在 21個字內包括 6 個字)

現在還有幾個問題要解決:

1.  最好能選剩多少字才用組合??

想答這問題最好能看機率表，如下:

Pool	0 #	1 #	2 #	3#	4 #	5 #	6#
6	43.60%	41.30%	13.24%	1.77%	0.10%	0.00%	0.00%
7	37.51%	42.58%	16.81%	2.87%	0.22%	0.01%	0.00%
8	32.15%	42.87%	20.28%	4.27%	0.41%	0.02%	0.00%
9	27.45%	42.35%	23.53%	5.93%	0.70%	0.04%	0.00%
10	23.33%	41.17%	26.47%	7.84%	1.11%	0.07%	0.00%
11	19.74%	39.48%	29.03%	9.95%	1.66%	0.13%	0.00%
12	16.62%	37.41%	31.17%	12.22%	2.36%	0.21%	0.01%
13	13.93%	35.05%	32.86%	14.60%	3.22%	0.33%	0.01%
14	11.61%	32.50%	34.07%	17.04%	4.26%	0.50%	0.02%
15	9.62%	29.85%	34.82%	19.47%	5.48%	0.73%	0.04%
16	7.92%	27.16%	35.11%	21.85%	6.87%	1.03%	0.06%
17	6.48%	24.48%	34.97%	24.12%	8.44%	1.42%	0.09%
18	5.27%	21.87%	34.43%	26.23%	10.18%	1.90%	0.13%
19	4.25%	19.36%	33.51%	28.13%	12.06%	2.49%	0.19%
20	3.40%	16.98%	32.27%	29.79%	14.07%	3.22%	0.28%
21	2.69%	14.76%	30.75%	31.16%	16.18%	4.07%	0.39%
22	2.12%	12.70%	28.99%	32.21%	18.36%	5.08%	0.53%
23	1.65%	10.82%	27.05%	32.93%	20.58%	6.26%	0.72%
24	1.27%	9.12%	24.97%	33.29%	22.80%	7.60%	0.96%
25	0.96%	7.60%	22.80%	33.29%	24.97%	9.12%	1.27%
26	0.72%	6.26%	20.58%	32.93%	27.05%	10.82%	1.65%
27	0.53%	5.08%	18.36%	32.21%	28.99%	12.70%	2.12%
28	0.39%	4.07%	16.18%	31.16%	30.75%	14.76%	2.69%
29	0.28%	3.22%	14.07%	29.79%	32.27%	16.98%	3.40%
30	0.19%	2.49%	12.06%	28.13%	33.51%	19.36%	4.25%
31	0.13%	1.90%	10.18%	26.23%	34.43%	21.87%	5.27%
32	0.09%	1.42%	8.44%	24.12%	34.97%	24.48%	6.48%
33	0.06%	1.03%	6.87%	21.85%	35.11%	27.16%	7.92%
34	0.04%	0.73%	5.48%	19.47%	34.82%	29.85%	9.62%
35	0.02%	0.50%	4.26%	17.04%	34.07%	32.50%	11.61%
36	0.01%	0.33%	3.22%	14.60%	32.86%	35.05%	13.93%
37	0.01%	0.21%	2.36%	12.22%	31.17%	37.41%	16.62%
38	0.00%	0.13%	1.66%	9.95%	29.03%	39.48%	19.74%
39	0.00%	0.07%	1.11%	7.84%	26.47%	41.17%	23.33%
40	0.00%	0.04%	0.70%	5.93%	23.53%	42.35%	27.45%
41	0.00%	0.02%	0.41%	4.27%	20.28%	42.87%	32.15%
42	0.00%	0.01%	0.22%	2.87%	16.81%	42.58%	37.51%
43	0.00%	0.00%	0.10%	1.77%	13.24%	41.30%	43.60%
44	0%	0.00%	0.03%	0.95%	9.71%	38.83%	50.48%
45	0%	0%	0.01%	0.41%	6.39%	34.95%	58.25%
46	0%	0%	0%	0.11%	3.50%	29.41%	66.98%
47	0%	0%	0%	0%	1.28%	21.94%	76.79%
48	0%	0%	0%	0%	0%	12.24%	87.76%
49	0%	0%	0%	0%	0%	0%	100%

例如選 10 球，而你當中能猜中 1 個字的機率是 41.17% 而能選中 6 個字機率機乎是 0.  較合理的大約在 20-25個球。因當中也要考慮成本問題。如上述說的 21 球, 4if6, 80注 成本 $800. 中大獎機會也存在 (參照我之前記錄, 20 個平均能中 4個字).


2.  聰明組合的排列怎排??
聰明組合排列 是一個關於 Optimization 的問題，怎解決?...較出名的就是 Simulated Annealing Algorithm，而近年較新的有 Minimal Overlapping Algorithm.  這些方法目的就是想把會大機會出現的號碼以平均，平衝的狀態放入每注，以確保多幾注能中獎而成本沒有增加。